Návod · 6 min čítania
Kellyho kritérium pri stávkach: vzorec, výpočet a prečo sú zlomky bezpečnejšie
Kellyho kritérium hovorí, aký podiel bankrollu vsadiť na stávku s kladnou očakávanou hodnotou. Nájdete tu vzorec, výpočet na prepočítanie, tabuľku a hlavný háčik: Kelly je len taký dobrý ako vaša pravdepodobnosť a tú nikdy nepoznáte presne.
Aktualizované 22. októbra 2026
Obsah
Kellyho vzorec
Výskumník z Bell Labs John L. Kelly v roku 1956 ukázal, aký vklad zabezpečí pri existujúcej výhode najrýchlejší dlhodobý rast majetku. Pre jednoduchú stávku znie vzorec:
f* = (b × p − q) / b
f* = podiel bankrollu, ktorý vsadíte
b = čistý kurz, teda desatinný kurz − 1
p = vami odhadnutá pravdepodobnosť výhry
q = 1 − p, pravdepodobnosť prehry
Rovnocenný a často praktickejší tvar: f* = (p × kurz − 1) / (kurz − 1), teda výhoda delená čistým kurzom. Čitateľ je očakávaná hodnota stávky (návod Očakávaná hodnota (EV)). Ak je nula alebo záporný, výhodu nemáte a Kelly hovorí: nestavte.
Výpočet: kurz 2,05, pravdepodobnosť 52 %
Skutočnú pravdepodobnosť výsledku odhadujete na 52 % a stávková kancelária ponúka kurz 2,05. Váš bankroll na stávky je 2 000 €.
- Čistý kurz: b = 2,05 − 1 = 1,05.
- Kontrola výhody: p × kurz − 1 = 0,52 × 2,05 − 1 = 1,066 − 1 = +6,6 % EV. Kladná, pokračujeme.
- Kellyho podiel: f* = (1,05 × 0,52 − 0,48) / 1,05 = (0,546 − 0,48) / 1,05 = 0,066 / 1,05 = 6,29 %.
- V eurách: plné Kelly 6,29 % z 2 000 € = 125,71 €. Polovičné Kelly 62,86 €. Štvrtinové Kelly 1,57 % = 31,43 €.
Ten istý prípad s inými pravdepodobnosťami (kurz 2,05) ako jednoduchá kalkulačka v tabuľke:
| p | EV | Plné Kelly | Štvrtinové Kelly | Štvrtinové Kelly pri 2 000 € |
|---|---|---|---|---|
| 48,8 % | 0,0 % | 0 % | 0 % | 0 € |
| 50 % | +2,5 % | 2,38 % | 0,60 % | 11,90 € |
| 51 % | +4,6 % | 4,33 % | 1,08 % | 21,67 € |
| 52 % | +6,6 % | 6,29 % | 1,57 % | 31,43 € |
| 53 % | +8,7 % | 8,24 % | 2,06 % | 41,19 € |
48,8 % je implikovaná pravdepodobnosť kurzu 2,05 (1 / 2,05). Sumy zaokrúhlené na centy. Ako previesť kurz na pravdepodobnosť, vysvetľuje návod Implikovaná pravdepodobnosť.
Prečo polovičné alebo štvrtinové Kelly
Plné Kelly maximalizuje dlhodobý rast, no s prudkými výkyvmi. Thorp uvádza, že pri plnom Kelly s pravdepodobnosťou 50 % raz klesnete na polovicu bankrollu. Zlomky stoja málo rastu a ubierajú veľa kolísania. Pre náš príklad (p = 52 %, kurz 2,05) dáva Kellyho vzorec rastu g = p × ln(1 + b × f) + q × ln(1 − f) na jednu stávku:
| Vklad | Podiel bankrollu | Rast na stávku, ak p = 52 % platí | … ak je p v skutočnosti 50 % |
|---|---|---|---|
| Plné Kelly | 6,29 % | +0,207 % | −0,050 % |
| Polovičné Kelly | 3,14 % | +0,156 % | +0,027 % |
| Štvrtinové Kelly | 1,57 % | +0,091 % | +0,026 % |
Polovičné Kelly teda prináša zhruba tri štvrtiny rastu pri polovičnom vklade. Štvrtinové Kelly zostáva v pluse aj vtedy, keď bol váš odhad o dva percentuálne body príliš optimistický.
Kelly pri chybách v odhade p
Pravý stĺpec ukazuje skutočný problém. Ak je skutočná pravdepodobnosť 50 namiesto 52 %, stávka je stále mierne kladná (+2,5 % EV). Napriek tomu váš bankroll pri plnom Kelly pre 52 % dlhodobo zmenšuje. Dôvod: približne od dvojnásobku správneho Kellyho podielu je rast záporný a 6,29 % je viac ako dvojnásobok skutočného podielu 2,38 %.
Keďže odhady pri športových stávkach sú zriedka presnejšie ako na jeden či dva percentuálne body, typickou chybou je stávkovanie príliš veľkých súm. Štvrtinové Kelly so stropom 2 až 3 % bankrollu na stávku je preto rozšírenou opatrnou voľbou. Ako veľmi výsledky kolíšu aj pri správnom odhade, ukazuje návod Variancia stávok.
Kelly verzus pevný vklad
- Pevný vklad (napríklad vždy 1 % počiatočného bankrollu): jednoduchý a prehľadný, no nezohľadňuje, aká veľká je výhoda.
- Zlomok Kelly: vsádza viac, keď je výhoda väčšia, a prispôsobuje sa aktuálnemu bankrollu. Po stratách sa vklady automaticky zmenšujú.
Ak vaše pravdepodobnosti pochádzajú z hrubého modelu, je malý pevný vklad často úprimnejší ako Kellyho výpočet, ktorý len predstiera presnosť. V oboch prípadoch je rozhodujúce, aby vklady zodpovedali bankrollu.
Platí Kelly pre surebety?
Takmer nie. Kelly je určené pre stávky s neistým výsledkom. Pri surebete je výsledok vzhľadom na výsledok zápasu takmer pevný, ak sú všetky stávky prijaté za zobrazené kurzy a zostanú platné. Čisto formálne by Kelly odporučilo veľmi vysoký vklad. Vklad však obmedzujú úplne iné veci: zostatky na vašich účtoch, maximálne vklady kancelárií, riziko zmeny kurzu alebo zrušenia stávky a limity. Ako rozdeliť peniaze medzi účty, opisuje návod Bankroll.
Kelly je dôležité až pri value betoch. Tie v ArbVantage zatiaľ nie sú k dispozícii (pribudnú čoskoro).
Kelly a poplatky zo vkladu
Na Slovensku hráč u licencovanej kancelárie neplatí daň zo stávky; odvod štátu platí prevádzkovateľ zo svojho výťažku. Ak si však kancelária účtuje manipulačný poplatok zo vkladu, alebo ak máte účet u kancelárie s rakúskou licenciou, ktorá na vás prenáša rakúsky poplatok zo stávok 5 %, počítajte Kelly s kurzom po zrážke, nie so zobrazeným. Pre náš príklad so zrážkou 5 %:
Efektívny kurz = 2,05 × 0,95 = 1,9475.
EV = 0,52 × 1,9475 − 1 = +1,3 % namiesto +6,6 %.
f* = 0,0127 / 0,9475 = 1,34 %, štvrtinové Kelly 0,34 % = 6,70 € pri bankrolle 2 000 €.
Zrážka teda zmenší odporúčaný vklad približne na pätinu. Ak je váš odhad len tesne nad implikovanou pravdepodobnosťou, po zrážke často žiadna výhoda nezostane. Podrobnosti o daniach a poplatkoch nájdete v návode Dane a právo.
Z akého bankrollu počítať
Počítajte s peniazmi, ktoré ste vyčlenili výlučne na stávky a o ktoré môžete celé prísť, nie s príjmom alebo úsporami. Bankroll prepočítavajte pravidelne, ideálne denne, aby sa vklady v strátovom období zmenšovali. Ak beží niekoľko stávok súčasne, vsaďte na každú menej, než je jej Kellyho podiel, pretože riziká sa sčítavajú.
Časté otázky
Je plné Kelly príliš riskantné?
Pri športových stávkach väčšinou áno. Plné Kelly predpokladá, že vaša pravdepodobnosť je správna. Ak je čo i len o dva percentuálne body príliš optimistická, váš bankroll sa môže dlhodobo zmenšovať. Polovičné alebo štvrtinové Kelly stratí málo rastu a chyby v odhade znesie oveľa lepšie.
Platí Kellyho kritérium pre surebety?
Takmer nie. Pri surebete výsledok takmer nezávisí od výsledku zápasu, ak všetky stávky zostanú platné. Vklad tam obmedzujú zostatky na účtoch, maximálne vklady, zmeny kurzov a limity, nie Kellyho vzorec.
Z akého bankrollu mám vychádzať?
Len z peňazí, ktoré ste vyčlenili výlučne na stávky a o ktoré si môžete dovoliť prísť. Pravidelne ho prepočítavajte, aby sa vklady po stratách zmenšovali.
Čo ak Kelly vyjde záporné?
Potom stávka podľa vášho odhadu nemá výhodu a nevsádzate nič. Záporný Kellyho podiel znamená, že kurz je nižší ako váš férový kurz.
Zdroje
- J. L. Kelly Jr.: A New Interpretation of Information Rate, Bell System Technical Journal 35 (1956), s. 917–926
- Edward O. Thorp: The Kelly Criterion in Blackjack, Sports Betting, and the Stock Market
- Zákon č. 30/2019 Z. z. o hazardných hrách · Slov-Lex (odvody prevádzkovateľov)
Stav: október 2026. Príklady výpočtov od ArbVantage, zaokrúhlené.
Stávkovanie je spojené s rizikom, aj pri surebetoch: kurzy sa menia a stávky sa rušia. Vsádzajte len peniaze, o ktoré si môžete dovoliť prísť. Bezplatnú a dôvernú pomoc nájdete na stránke Zodpovedné hranie.
Nie je to stávkové, právne ani daňové poradenstvo. Len pre osoby staršie ako 18 rokov.